Question

已知x、y∈(0，

π

2

)，且2sinx=sin（x+y），则x与y的关系是（　　）

A．x＞y

B．x＜y

C．x≥y

D．x与y的大小不确定

Answer 1

分析：利用正弦函数的性质可得到sin（x+y）=2sinx≤1 则0＜x≤

π

6

，再对x与y的关系分类讨论即可．

解答：解：∵x、y∈（0，

π

2

），sin（x+y）=2sinx≤1 则0＜x≤

π

6

，
假设x=y 则2sinx=sin（x+y）=sin2x=2sinx•cosx，即2sinx（1-cosx）=0
∵则0＜x≤

π

6

，故sinx≠0，
∴cosx=1，矛盾；
假设 y＜x≤

π

6

，由于y=sinx在（0，

π

3

）单调递增，2sinx=sin（x+y）＜sin2x=2sinx•cosx
∴cosx＞1 矛盾；
∴y≤x不成立，
∴只能是y＞x，其中x=30°，y=60° 就是一个解．
故选B．

点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，难点在于解题思路的突破-反证法的应用，综合考查了倍角公式与正弦函数的性质，属于难题．