Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}的首项为a₁=2，且4a₁是2a₂，a₃的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若b_n=a_nlog₂a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求数列{a_n}的通项公式，因为数列{a_n}为等比数列，a₁=2，所以只需求出q，根据4a₁是2a₂，a₃，的等差中项，就可找到含q的方程，解出q即可．
（Ⅱ）先把（Ⅰ）所求数列{a_n}的通项公式代入b_n=a_nlog₂a_n，化简，即得数列{b_n}的通项公式，再利用错位相减法，求和即可．

解答：解：（Ⅰ）∵数列{a_n}为等比数列，a₁=2，
∴a₂=a₁q=2q，a₃=a₁q²=2q²
∵4a₁是2a₂，a₃，的等差中项，∴8a₁=2a₂+a₃，即，16=2或=4q+2q²
解得，q=2或q=-4
∵数列{a_n}各项均为正数，∴q=-4舍去，
∴q=2，∴列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ
（Ⅱ）把a_n=2ⁿ代入b_n=a_nlog₂a_n，得，b_n=2ⁿlog₂2ⁿ=n2ⁿ，
∴S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n2ⁿ      ①
2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n2ⁿ⁺¹    ②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n2ⁿ⁺¹
∴S_n=-2ⁿ⁺¹+2+n2ⁿ⁺¹=（n-1）2ⁿ⁺¹+2

点评：本题考查了等比数列通项公式的求法，以及错位相减法求数列的和，属于数列的常见题型，应当掌握．