精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数f(x)=(x-1)2,g(x)=k(x-1),函数f(x)-g(x)其中一个零点为5,数列{an}满足a1=
k
2
,且(an+1-an)g(an)+f(an)=0.
(1)求数列{an}通项公式:
(2)试证明
i=1
ai≥1+n

(3)设bn=3f(an)-g(an+1),试探究数列{bn}是否存在最大项和最小项?若存在求出最大项和最小项,若不存在,说明理由.
分析:(1)根据题意先求出k的值,进而求出a1的值,然后根据(an+1-an)g(an)+f(an)=0可以求出an-1为等比数列,便可求出数列{an}通项公式;
(2)由(1)求得的数列{an}通项公式求出
n
i=1
ai
的表达式,再根据不等式的性质即可证明
i=1
ai≥1+n

(3)根据题意先求出bn的通项公式,然后令u=(
3
4
)n-1
,讨论bn的单调性,分别讨论n=1,2,3,4时u的值,即可求出bn的最大项和最小项的值.
解答:解:(1)函数f(x)-g(x)有一个零点为5,即方程(x-1)2-k(x-1)=0,有一个根为5,
将x=5代入方程得16-4k=0,
∴k=4,∴a1=2(1分)
由(an+1-an)g(an)+f(an)=0得
4(an+1-a1)(an-1)+(an-1)2=0,
(an-1)(4an+1-4an+an-1)=0,
∴an-1=0或4an+1-4an+an-1=0,(3分)
由(1)知a1=2,∴an-1=0(舍去).
由4an+1-4an+an-1=0得4an+1=3an+(14分)
由4an+1=3an+1得an+1-1=
3
4
(an-1)
(5分)
∴数列{an-1}是首项为a1-1=1,公比为
3
4
的等比数列
∴an-1=(
3
4
)n-1

∴数列{an}通项公式为an=(
3
4
)n-1+1
.(6分)
(2)由(1)知∴
n
i=1
ai
=1+
3
4
+(
3
4
)2
++(
3
4
)n-1
+n=4[1-(
3
4
)n]+n
(8分)
∵对?n∈N*,有(
3
4
)n
3
4

1-(
3
4
)n≥1
-
3
4
=
1
4
4[1-(
3
4
)n]
+n≥1+n,
n
i=1
a1≥1+n
(10分)
(3)由bn=3f(an)-g(an+1)得bn=3(an-1)2-4(an+1-1)
bn=3[(
3
4
)n-1]2
-4(
3
4
)n
=3{[(
3
4
)n-1]2
-(
3
4
)n-1}
(11分)
u=(
3
4
)n-1
,则0<u≤1,
bn=3(u2-u)=3[(u-
1
2
)2-
1
4
]

∵函数bn=3[(u-
1
2
)2-
1
4
]
[
1
2
,1]
上为增函数,在(0,
1
2
)
上为减函数(12分)
当n=1时u=1,
当n=2时u=
3
4

当n=3时,u=(
3
4
)2
=
9
16

当n=4时u=
27
64

27
64
1
2
9
16
3
4
<1
,且|
1
2
-
27
64
|
>|
1
2
-
9
16
|

∴当n=3时,bn有最小值,即数列{bn} 有最小项,最小项为b3=3[(
9
16
)2
-
9
16
]=-
189
256
(13分)
当n=1即u=1时,bn有最大值,即有最大项,最大项为b1=3(1-1)=0.(14分)
点评:本题考查了数列的推导以及函数的单调性求函数的最大值和最小值,考查了学生的计算能力和对数列、函数的综合掌握,解题时注意整体思想和转化思想的运用,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若函数y=f(2x+
π
4
)
的图象关于直线x=
π
6
对称,求φ的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,时f(x)的表达式;
(2)若关于x的方程f(x)-a=o有解,求实数a的范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的单调递增区间;(文科可参考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,记函数g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在区间(1,3)上总不单调,求实数m的范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x2-bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线3x-y+2=0平行,若数列{
1
f(n)
}
的前n项和为Sn,则S2010的值为(  )
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)是定义在区间(-1,1)上的奇函数,且对于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,则实数a的取值范围是
 

查看答案和解析>>

同步练习册答案