分析 (Ⅰ)由点E,F分别是AB,AC的中点,推导出EF∥BC,由此能证明BC∥平面DEF.
(Ⅱ)以D为坐标原点,以直线DB,DC,DA分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出线段AB上是存在一点P,使CP⊥DF,并能求出$\frac{AP}{PB}$的值.
解答 证明:(Ⅰ)因为点E,F分别是AB,AC的中点,
所以EF∥BC.
又因为BC?平面DEF,EF?平面DEF,
所以BC∥平面DEF. …(5分)
解:(Ⅱ)假设存在点P满足条件.
以D为坐标原点,以直线DB,DC,DA分别为x轴,y轴,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意得D(0,0,0),$A(0,0,\sqrt{3})$,B(1,0,0),C(0,1,0),$F(0,\frac{1}{2},\frac{{\sqrt{3}}}{2})$,
设$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{PB}$,则$P(\frac{λ}{1+λ},0,\frac{{\sqrt{3}}}{1+λ})$,由CP⊥DF,得$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{DF}=0$,
即$(\frac{λ}{1+λ},-1,\frac{{\sqrt{3}}}{1+λ})•(0,\frac{1}{2},\frac{{\sqrt{3}}}{2})=0-\frac{1}{2}+\frac{3}{2(1+λ)}=0$,
解得λ=2,故在线段AB上存在点P,使CP⊥DF且$\frac{AP}{PB}=2$. …(12分)
点评 本题考查线面平行的证明,考查满足条件的点是不存在的判断与求法,考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力,考查转化化归思想、数形结合思想,是中档题.
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A. | $\frac{π}{24}$ | B. | $\frac{π}{12}$ | C. | $\frac{π}{8}$ | D. | $\frac{π}{6}$ |
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A. | (-1,1) | B. | (-∞,-1)∪(1,+∞) | C. | [-1,1] | D. | (-∞,-1]∪[1,+∞) |
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喜欢甜品 | 不喜欢甜品 | 合计 | |
南方学生 | a | 20 | 80 |
北方学生 | 10 | b | 20 |
合计 | 70 | 30 | 100 |
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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