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14.如图,边长为2的等边三角形ABC中,D为BC的中点,将△ABC沿AD翻折成直二面角B-AD-C,点E,F分别是AB,AC的中点.
(1)求证:BC∥平面DEF;
(2)在线段AB上是否存在一点P,使CP⊥DF?若存在,求出$\frac{AP}{PB}$的值;若不存在,请说明理由.

分析 (Ⅰ)由点E,F分别是AB,AC的中点,推导出EF∥BC,由此能证明BC∥平面DEF.
(Ⅱ)以D为坐标原点,以直线DB,DC,DA分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出线段AB上是存在一点P,使CP⊥DF,并能求出$\frac{AP}{PB}$的值.

解答 证明:(Ⅰ)因为点E,F分别是AB,AC的中点,
所以EF∥BC.
又因为BC?平面DEF,EF?平面DEF,
所以BC∥平面DEF. …(5分)
解:(Ⅱ)假设存在点P满足条件.
以D为坐标原点,以直线DB,DC,DA分别为x轴,y轴,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意得D(0,0,0),$A(0,0,\sqrt{3})$,B(1,0,0),C(0,1,0),$F(0,\frac{1}{2},\frac{{\sqrt{3}}}{2})$,
设$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{PB}$,则$P(\frac{λ}{1+λ},0,\frac{{\sqrt{3}}}{1+λ})$,由CP⊥DF,得$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{DF}=0$,
即$(\frac{λ}{1+λ},-1,\frac{{\sqrt{3}}}{1+λ})•(0,\frac{1}{2},\frac{{\sqrt{3}}}{2})=0-\frac{1}{2}+\frac{3}{2(1+λ)}=0$,
解得λ=2,故在线段AB上存在点P,使CP⊥DF且$\frac{AP}{PB}=2$.   …(12分)

点评 本题考查线面平行的证明,考查满足条件的点是不存在的判断与求法,考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力,考查转化化归思想、数形结合思想,是中档题.

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合计7030100
(1)求a、b
(2)根据表中数据,问是否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.
附:
P(K2≥k00.1000.0500.010
k02.7063.8416.635
K2=$\frac{n(ad-bc)2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$.

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