Question

选修4-1：几何证明选讲
如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G．
（1）求证：△DEF∽△EFA；
（2）如果FG=1，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）由同位角相等得出∠BCE=∠FED，由圆中同弧所对圆周角相等得出∠BAD=∠BCD，结合公共角∠EFD=∠EFD，证出△DEF∽△EFA
（2）由（1）得EF²=FA•FD，再由圆的切线长定理FG²=FD•FA，所以EF=FG=1

解答：（1）证明：因为EF∥CB，所以∠BCE=∠FED，又∠BAD=∠BCD，所以∠BAD=∠FED，
又∠EFD=∠EFD，所以△DEF∽△EFA．…（6分）
（2）由（1）得，

EF

FA

=

FD

EF

，EF²=FA•FD．
因为FG是切线，所以FG²=FD•FA，所以EF=FG=1．…（10分）

点评：本题考查与圆有关的角、比例线段，要善于寻找有关线段的数量关系，结合相关性质、定理求解．