Question

19．已知正方形，分别是边的中点，将沿折起，如图所示，记二面角的大小为（）．

（1）证明平面；

（2）若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求角的余弦值．

Answer 1

本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力.

 （Ⅰ）证明：E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点.

∴EB∥FD，且EB=FD.

∴四边形EBFD是平行四边形，

∴BF∥ED.

∵ED平面AED.而BF平面AED，

∴BF∥平面AED.

（Ⅱ）解法一：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

过点A作AG⊥平面BCDE，垂足为G，连结GC，GD.

∵△ACD为正三角形，

∴AC=AD.

∴GC=GD.

∴G在CD的垂直平分线上.

又∵EF是CD的垂直平分线，

∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.过G作GH⊥ED，垂足为H，连结AH，即AH⊥DE.

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG=θ

设原正方形ABCD的边长为2a，连结AF.

在折后图的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a，

∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF，

∴AG=a.

在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE，

∴AH=，

∴GH=，

∴cosθ=.

解法二：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

连结AF，在平面AEF内过点A作AG′⊥EF，垂足为G′.

∵△ACD为正三角形，F为CD的中点，

∴AF⊥CD.

又∵EF⊥CD,

∴CD⊥平面AEF.

∵AG′平面AEF，

∴CD⊥AG′.

又∵AG′⊥EF，且CD∩EF=F，CD平面BCDE，EF平面BCDE，

∴AG′⊥平面BCDE，

∴G′为A在平面BCDE内的射影G.

∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

过G作GH⊥ED，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE，

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG=θ

设原正方形ABCD的边长为2a.

在折后图的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a，

∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF.

∴AG=a，

在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE，

∴AH=，

∴GH=，

∴cosθ=.

解法三：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.连结AF，在平面AEF内过点A作AG′⊥EF，垂足为G′.

∵△ACD为正三角形，F为CD中点.

∴AF⊥CD.

又∵EF⊥CD.

∴CD⊥平面AEF.

∵CD平面BCDE，

∴平面AEF⊥平面BCDE.

又∵平面AEF∩平面BCDE=EF，AG′⊥EF，

∴AG′⊥平面BCDE，即G′为A在平面BCDE内的射影G，

∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

过G作GH⊥DE，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE，

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG=θ.

设原正方形ABCD的边长为2a.

在折后图的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a，

∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF.

∴AG=a.

在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE，

∴AH=，

∴GH=，

∴cosθ=.