Question

商场现有某商品1320件，每件成本110元，如果每件售价200元，每天可销售40件．节日期间，商场决定降价促销，根据市场信息，单价每降低3元，每天可多销售2件．
（1）每件售价多少元，商场销售这一商品每天的利润最大？
（2）如果商场决定在节日期间15天内售完，在不亏本的前提下，每件售价多少元，商场销售这一商品每天的销售额最大？

Answer 1

解：（1）设每件售价x元，每天销售利润y₁元．依题意得：
y₁=（x-110）×[40+×（200-x）]=×（-x²+370x-28600）=[-（x-185）²+5625]
当x=185时，y₁有最大值3750元．

（2）设每件售价x元，每天销售额y₂元，
依题意，y₂=x×[40+×（200-x）]，
其中
即y₂=[-（x-130）²+16900]，其中110≤x≤128，
因为y₂在区间[110，128]内单调增加，所以x=128时y₂有最大值11264元
答：（1）每件售价185元，商场销售这一商品每天的利润最大；（2）在不亏本的前提下，每件售价128元，商场销售这一商品每天的销售额最大．
分析：（1）设出每件售价x元，每天销售利润y₁元，根据利润=售价-成本得到y₁与x的函数关系式，利用二次函数求最大值的方法得到此时x的值即可；
（2）设每件售价x元，每天销售额y₂元，根据销售额=每件的销售价×卖的件数得到y₂与x的函数关系式，找出自变量x的取值范围，求出二次函数的最大值时x的值即可．
点评：考查学生会根据实际问题选择合适的函数类型，会求二次函数在闭区间内最值来解决数学问题．注意y₂求最大值时，二次函数的顶点取不到，应根据单调性来求．