Question

17．已知数列{a_n}的前n项和记为S_n，且满足S_n=2a_n-n（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂的值，并证明：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）证明：$\frac{n}{2}-\frac{1}{3}＜\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+…+\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}＜\frac{n}{2}$．

Answer 1

分析 （1）分别令n=1，2，计算即可得到所求；由当n≥2时，S_n=2a_n-n，S_n-1=2a_n-1-（n-1），相减再由构造数列，即可得证；
（2）先证得$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{2}^{k}}$≤$\frac{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}$＜$\frac{1}{2}$，累加再由不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）当n=1时，2a₁-1=S₁，解得a₁=1，
当n=2时，S₂=2a₂-2⇒a₁+a₂=2a₂-2⇒a₂=a₁+2=3，
当n≥2时，S_n=2a_n-n，S_n-1=2a_n-1-（n-1），
两式相减得：a_n=2a_n-2a_n-1-1，
即a_n=2a_n-1+1，
两边同加1得到：a_n+1=2（a_n-1+1），
所以{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列，
所以${a_n}+1={2^n}⇒{a_n}={2^n}-1$；
（2）证明：$\frac{a_k}{{{a_{k+1}}}}=\frac{{{2^k}-1}}{{{2^{k+1}}-1}}=\frac{{{2^k}-1}}{{2（{{2^k}-\frac{1}{2}}）}}＜\frac{1}{2}，k=1，2，3…，n$，$\frac{a_k}{{{a_{k+1}}}}=\frac{{{2^k}-1}}{{{2^{k+1}}-1}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{{2（{{2^{k+1}}-1}）}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{{3•{2^k}+{2^k}-2}}≥\frac{1}{2}-\frac{1}{3}•\frac{1}{2^k}（{k=1，2，…，n}）$，
求和得到不等式：$\frac{n}{2}-\frac{1}{3}（{1-\frac{1}{2^n}}）＜\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+…+\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}＜\frac{n}{2}$，
因为$\frac{n}{2}-\frac{1}{3}（{1-\frac{1}{2^n}}）=\frac{n}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}•\frac{1}{2^n}＞\frac{n}{2}-\frac{1}{3}$，
所以原不等式$\frac{n}{2}-\frac{1}{3}＜\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+…+\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}＜\frac{n}{2}$成立．

点评 本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，注意运用数列的通项和前n项和的关系，考查不等式的证明，注意运用放缩法和不等式的性质，属于中档题．