【题目】已知椭圆 =1(a>b>0)经过点P(﹣2,0)与点(1,1).
(1)求椭圆的方程;
(2)过P点作两条互相垂直的直线PA,PB,交椭圆于A,B.
①证明直线AB经过定点;
②求△ABP面积的最大值.
【答案】
(1)解:由题意可得 ,解得 ,
∴椭圆方程为
(2)①证明:由对称性知,若存在定点,则必在x轴上,
当kPA=1时,lPA:y=x+2,
联立 ,得x2+3x+2=0,解得x=﹣1.
下面验证定点为(1,0).
设直线PA的方程为y=k(x+2),
联立 ,得(1+3k2)x2+12k2x+12k2﹣4=0,
解得: .
同理可得: .
则 ,即直线AB经过定点(﹣1,0);
②解:由题意可知,直线不与x轴平行,设直线AB方程为x=ty﹣1.
联立 ,得(t2+3)y2﹣2ty﹣3=0.
∴ ,
∴ = .
令 ,λ∈[3,+∞),则 .
∴ .
当且仅当λ=3,即t=0时成立
【解析】(1)把已知点的坐标代入椭圆方程,求解方程组可得a,b,则椭圆的方程可求;(2)①由对称性知,若存在定点,则必在x轴上,求出PA所在直线斜率为1时AB所过定点,验证得答案;②设直线AB方程为x=ty﹣1.联立直线方程和椭圆方程,化为关于y的一元二次方程,利用根与系数的关系求得A,B的纵坐标的和与积,结合弦长公式求得面积,换元后利用基本不等式求最值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识,掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2﹣10x的一个极值点.
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,求b的取值范围.
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【题目】△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且2acosB=3b﹣2bcosA.
(1)求 的值;
(2)设AB的中垂线交BC于D,若cos∠ADC= ,b=2,求△ABC的面积.
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【题目】(选修4-4 坐标系与参数方程) 以平面直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设曲线C的参数方程为 (是参数),直线的极坐标方程为.
(1)求直线的直角坐标方程和曲线C的普通方程;
(2)设点P为曲线C上任意一点,求点P到直线的距离的最大值.
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【题目】定义函数F(a,b)= (a+b﹣|a﹣b|)(a,b∈R),设函数f(x)=﹣x2+2x+4,g(x)=x+2(x∈R)函数F(f(x),g(x))的最大值与零点之和为( )
A.4
B.6
C.
D.
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