Question

已知是函数的一个极值点，其中，

（I）求与的关系式；

（II）求的单调区间；

（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.

Answer 1

( I )解

因为是函数的一个极值点,所以,即，

所以

（II）由（I）知，=.

当时，有，当变化时，与的变化如下表：

				1
	<0	0	>0	0	<0
	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

由上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.

（III）解法一：

由已知，得，即

∵，    ∴

即      （*）

设，其函数图象的开口向上，

由题意（*）式恒成立，∴

又

∴ .

即的取值范围为

解法二：由已知，得，即，

∵，      ∴      （*）

1*  x=1时，（*）式化为0<1恒成立，∴。

2*  x≠1时，∵∴

（*）式化为,

 令t= x－1，则t∈[－2,0)，记g(t)=t－,则g(t)在区间[－2,0)是单调增函数。

∴==

由（*）式恒成立，必有又m<0，

∴

综上1*、2*知