【题目】已知函数f(x)= ,定义域为[0,2π],g(x) 为f(x) 的导函数.
(1)求方程g(x)=0 的解集;
(2)求函数g(x) 的最大值与最小值;
(3)若函数F(x)=f(x)﹣ax 在定义域上恰有2个极值点,求实数a 的取值范围.
【答案】
(1)解:∵f(x)= ,定义域为[0,2π],
∴f′(x)=﹣ +
,
∵g(x) 为f(x) 的导函数,
∴由方程g(x)=0 得 =0,
解得 ,或x=
,
∴方程g(x)=0 的解集为{ ,
}
(2)解:∵ +
﹣
=﹣2×
,
令g′(x)=0,解得x= 或x=
,
x | 0 | (0, | ( | ( | 2π | ||
g′(x) | ﹣ | 0 | 0 | 0 | ﹣ | ||
g(x) | 1 | ↓ | ↑ | ↓ | e﹣2π |
∴g(x)的最大值为g(0)=1,
∴g(x)的最小值为g( )=﹣
(3)解:∵ ﹣a=g(x)﹣a,
∴函数F(x)=f(x)﹣ax在定义域上恰有2个极值点,
等价于g(x)﹣a=0在定义域外上恰有两个零点且零点处异号,
即y=a的图象恰恰有两个交点,
由(2)知F′(0)=g(0)﹣a=1﹣a,
F′(2π)=g(2π)﹣a=e﹣2π﹣a,
,
F′(2π)=g(2π)﹣a=e﹣2π﹣a,
若 ,则F′(2π)<0,
∴F′(x)=0只有一个零点,不成立.∴ .
若 ,即a=
在x=
处同号,不成立;
若F′(2π)≤0,则F′(x)=0有3个零点,不成立.
∴只有F′(2π)>0,
∴满足条件为: ,
解得 <a<e﹣2π或a=
.
∴实数a 的取值范围是{a| <a<e﹣2π或a=
}
【解析】(1)f′(x)=﹣ +
,由方程g(x)=0 得
=0,由此能求出方程g(x)=0 的解集.(2)
+
﹣
=﹣2×
,令g′(x)=0,解得x=
或x=
,由此利用导数性质能求出g(x)的最值.(3)函数F(x)=f(x)﹣ax在定义域上恰有2个极值点,等价于y=a的图象恰恰有两个交点,由此利用分类讨论思想能求出实数a 的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识,掌握求函数的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值,以及对函数的最大(小)值与导数的理解,了解求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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【题目】某公司过去五个月的广告费支出与销售额
(单位:万元)之间有下列对应数据:
2 | 4 | 5 | 6 | 8 | |
40 | 60 | 50 | 70 |
工作人员不慎将表格中的第一个数据丢失.已知
对
呈线性相关关系,且回归方程为
,则下列说法:①销售额
与广告费支出
正相关;②丢失的数据(表中
处)为30;③该公司广告费支出每增加1万元,销售额一定增加
万元;④若该公司下月广告投入8万元,则销售
额为70万元.其中,正确说法有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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【题目】已知抛物线的焦点为F,过F作平行于x轴的直线交抛物线于A,B两点(A在B的左侧),若△AOB的面积为2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设P是抛物线C的准线上一点,Q是抛物线上的一点,若PF⊥QF,求证:直线PQ与抛物线相切.
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【题目】在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知bsinA= acosB.
(1)求角B 的值;
(2)若cosAsinC= ,求角A的值.
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【题目】如图所示,已知曲线C1:y=(x>0)及曲线C2:y=
(x>0).C1上的点Pn的横坐标为an,
过C1上的点Pn(n∈N+)作直线平行于x轴,交曲线C2于点Qn,再过点Qn作直线平行于y轴,交曲线C1于点Pn+1.
试求an+1与an之间的关系,并证明a2n-1<<a2n(n∈N+).
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【题目】四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD中点,PA⊥底面ABCD,PA=2.
(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;
(2)求直线PC与平面PBE所成的角的正弦值.
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【题目】已知恒等式(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n .
(1)求a1+a2+a3+…+a2n和a2+2a3+22a4+…+22n﹣2a2n的值;
(2)当n≥6时,求证: a2+2A
a3+…+22n﹣2
a2n<49n﹣2 .
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