Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1，函数y=f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为h（t），并求h（t）的最值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：由二次函数的性质设f（x）=ax²+bx+1，从而求得f（x）=x²-x+1；再由对称轴可得h（t）=

t2-t+1，t≤0 t2+t+1，t＞0

；从而求分段函数的最值．

解答： 解：由题意，设f（x）=ax²+bx+1，
则f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）
=2ax+a+b=2x；
故a=1，b=-1；
故f（x）=x²-x+1；
f（x）的图象的对称轴为x=

1

2

；
故当|t-

1

2

|≥|t+1-

1

2

|，即t≤0时，
h（t）=f（t）=t²-t+1；
当|t-

1

2

|＜|t+1-

1

2

|，即t＞0时，
h（t）=f（t+1）=t²+t+1；
故h（t）=

t2-t+1，t≤0 t2+t+1，t＞0

；
作函数图象如下，

由图可知，有最小值1，没有最大值．

点评：本题考查了二次函数的性质与图象的应用及分段函数的应用，属于中档题．