Question

已知常数，在矩形中，，，为的中点．点分别在上移动，且，为与的交点（如图）．问是否存在两个定点，使点到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

当时，点的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点．
当时，点的轨迹为椭圆的一部分，点到该椭圆焦点的距离和定为定值．
当时，点到椭圆两个焦点，的距离之和为定值．
当时，点到椭圆两个焦点，的距离之和为定值．

根据题设条件，首先求出点坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点到两定点距离的和为定值．按题意有，，，．
设，
因此有，，．
直线的方程为，       ①
直线的方程为．      ②
从①②消去参数，得点坐标满足方程，
整理得．
当时，点的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点．
当时，点的轨迹为椭圆的一部分，点到该椭圆焦点的距离和定为定值．
当时，点到椭圆两个焦点，的距离之和为定值．
当时，点到椭圆两个焦点，的距离之和为定值．