Question

10．设集合S={x|x=m+$\sqrt{2}$n，m，n∈Z}，对于S中的任意两个值x₁，x₂ ，则x₁+x₂ 和x₁x₂ 两个值中属于S的个数是2．

Answer 1

分析 不妨设x₁=a₁+b₁$\sqrt{2}$，x₂=a₂+b₂$\sqrt{2}$，（a₁，b₁，a₂，b₂∈Z），从而可得x₁+x₂=（a₁+a₂）+（b₁+b₂）$\sqrt{2}$∈S，x₁x₂=（a₁a₂+2b₁b₂）+（a₁b₂+b₁a₂）$\sqrt{2}$∈S．

解答 解：∵x₁∈S，x₂∈S，
∴不妨设x₁=a₁+b₁$\sqrt{2}$，x₂=a₂+b₂$\sqrt{2}$，（a₁，b₁，a₂，b₂∈Z），
∴x₁+x₂=（a₁+a₂）+（b₁+b₂）$\sqrt{2}$，
又∵a₁+a₂，b₁+b₂∈Z，
∴x₁+x₂∈S，
同理可证明：x₁x₂=（a₁a₂+5b₁b₂）+（a₁b₂+b₁a₂）$\sqrt{2}$∈S．
故答案为：2．

点评 本题考查了元素与集合的关系的判断与应用，属于基础题．