Question

8．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点．
（1）求三棱锥A-A₁EC的体积；
（2）求异面直线BD₁与CE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用三棱锥体积公式求解即可．
（2）延长DC至G，使CG=DC，连结BG、D₁G，说明∠D₁BG就是异面直线BD₁与CE所成的角．在△D₁BG中，利用余弦定理求解异面直线BD₁与CE所成角的余弦值即可．

解答 解：（1）由三棱锥体积公式可得：$V=\frac{1}{3}A{A_1}•{S_{△ACE}}$=$\frac{1}{3}•1•\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•1=\frac{1}{12}$．
（2）延长DC至G，使CG=$\frac{1}{2}$DC，连结BG、D₁G
∵$CG\stackrel{∥}{=}EB$，∴四边形EBGC是平行四边形．
∴BG∥EC．∴∠D₁BG就是异面直线BD₁与CE所成的角．
在△D₁BG中，D₁B=$\sqrt{3}$，BG=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，D₁G=$\sqrt{{1}^{2}+（{\frac{3}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∴cos∠D₁BG=$\frac{{D}_{1}{B}^{2}+{BG}^{2}-{D}_{1}{G}^{2}}{2{D}_{1}B•BG}$=$\frac{3+\frac{5}{4}-\frac{13}{4}}{2×\frac{\sqrt{15}}{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$
即异面直线BD₁与CE所成角的余弦值是：$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

点评 本题考查几何体的体积的求法，异面直线所成角的求法，考查转化思想以及计算能力．