Question

16．已知函数$f（x）={sin^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x\;\;（x∈R）$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递减区间；
（Ⅱ）若α为第四象限角，且$cosα=\frac{3}{5}$，求$f（\frac{α}{2}+\frac{7π}{12}）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用倍角公式及辅助角公式化积，由周期公式求得周期，再由复合函数的单调性求得函数的单调减区间；
（Ⅱ）由α的范围结合已知求出sinα，再结合三角函数的诱导公式求得$f（\frac{α}{2}+\frac{7π}{12}）$的值．

解答 解：（Ⅰ）由已知$f（x）={sin^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x$
=$\sqrt{3}sin2x-cos2x=2sin（2x-\frac{π}{6}）$．
∴最小正周期$T=\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$；
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈z$，
得$\frac{2π}{3}+kπ≤x≤\frac{10π}{6}+kπ，k∈z$．
故函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间$[{\frac{1}{3}π，\frac{5}{6}π}]$；
（Ⅱ）∵α为第四象限角，且$cosα=\frac{3}{5}$，∴$sinα=-\frac{4}{5}$．
∴$f（\frac{α}{2}+\frac{7π}{12}）$=$2sin（α+\frac{7π}{6}-\frac{π}{6}）=-2sinα$=$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦函数的图象和性质，训练了三角函数值的求法，是中档题．