【题目】已知函数f(x)= 是奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并给以证明;
(3)求函数f(x)的值域.
【答案】
(1)解:由题意:函数f(x)= 是奇函数.
∴f(﹣x)+f(x)=0.
即: =0
化简整理得: =0
可得:a2x+2=a+22x
解得:a=2.
所以实数a的值为2
(2)解:由(1)得f(x)= ,其定义域为R.
函数f(x)在定义域R上单调减函数.证明如下:
设x1<x2,那么:f(x1)﹣f(x2)= = ,
∵x1<x2,
∴ ,
故得f(x1)﹣f(x2)>0.
所以函数f(x)在定义域R上单调减函数
(3)解:由(1)可得f(x)= = = .
∵
∴f(x) ,
所以函数f(x)的值域为(﹣∞, )∪( ,+∞)
【解析】(1)利用奇函数的定义求解即可:即f(﹣x)+f(x)=0.(2)求函数的定义域,利用定法证明其单调性.(3)对函数进行化简,分离常数法,即可得到值域.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数奇偶性的性质的相关知识,掌握在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇.
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【题目】若二次函数f(x)=x2+bx+c满足f(2)=f(﹣2),且函数的f(x)的一个根为1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)对任意的x∈[ ,+∞),方程4mf(x)+f(x﹣1)=4﹣4m有解,求实数m的取值范围.
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【题目】有下列四种说法:
①命题“”为假,则、至少一个为假;
②命题“一次函数都是单调函数”的否定是“一次函数都不是单调函数”;
③动点到点 与到点的距离之和为2,则点的轨迹是焦点在轴上的椭圆;
④命题“若直线与双曲线相切,则该直线与双曲线只有一个公共点”的逆命题是真命题.
其中正确的有__________.(填写序号)
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【题目】第31届夏季奥林匹克运动会于2016年8月5日至8月21日在巴西里约热内卢举行.如表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据(单位:枚).
第30届伦敦 | 第29届北京 | 第28届雅典 | 第27届悉尼 | 第26届亚特兰大 | |
中国 | 38 | 51 | 32 | 28 | 16 |
俄罗斯 | 24 | 23 | 27 | 32 | 26 |
(1)根据表格中两组数据在答题卡上完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图,并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度(不要求计算出具体数值,给出结论即可);
(2)如表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和(从第26届算起,不包括之前已获得的金牌数)随时间变化的数据:
时间(届) | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
金牌数之和(枚) | 16 | 44 | 76 | 127 | 165 |
作出散点图如图:
由图可以看出,金牌数之和与时间之间存在线性相关关系,请求出关于的线性回归方程,并预测到第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为多少?
附:对于一组数据, ,…, ,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
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【题目】平面内动点P(x,y)与两定点A(-2, 0), B(2,0)连线的斜率之积等于,若点P的轨迹为曲线E,过点Q作斜率不为零的直线交曲线E于点.
(I)求曲线E的方程;
(II)求证: ;
(III)求面积的最大值.
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【题目】某经销商从外地水产养殖厂购进一批小龙虾,并随机抽取40只进行统计,按重量分类统计结果如下图:
(1)记事件为:“从这批小龙虾中任取一只,重量不超过35的小龙虾”,求的估计值;
(2)若购进这批小龙虾100千克,试估计这批小龙虾的数量;
(3)为适应市场需求,了解这批小龙虾的口感,该经销商将这40只小龙虾分成三个等级,如下表:
等级 | 一等品 | 二等品 | 三等品 |
重量() |
按分层抽样抽取10只,再随机抽取3只品尝,记为抽到二等品的数量,求抽到二级品的期望.
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