Question

已知数列{a_n}的首项a1=

2

3

，an+1=

2an

an+1

，n∈N⁺
（Ⅰ）设bn=

1

an

-1证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）数列{

n

bn

}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由数列{a_n}的首项a1=

2

3

，an+1=

2an

an+1

，推导出a_n=

2n

2n+1

．所以bn=

1

an

-1=

1

2n

．由此能够证明数列{b_n}是等比数列．
（Ⅱ）由b_n=

1

2n

，知

n

bn

=n•2ⁿ，故数列{

n

bn

}的前n项和S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{

n

bn

}的前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的首项a1=

2

3

，an+1=

2an

an+1

，
∴a₂=

2× 2 3

2 3 +1

=

4

5

，
a₃=

2× 4 5

4 5 +1

=

8

9

，
a₄=

2× 8 9

8 9 +1

=

16

17

．
由此猜想a_n=

2n

2n+1

．
用数学归纳法证明：
①当n-1时，a1=

21

21+1

=

2

3

，成立；
②假设n=k时，等式成立，即ak=

2k

2k+1

，
则ak+1=

2ak

ak+1

=

2k+1 2k+1

2k 2k+1 +1

=

2k+1

2k+1+1

，成立．
∴a_n=

2n

2n+1

．
∴bn=

1

an

-1=

2n+1

2n

-1=

1

2n

．
∵b₁=

1

a1

-1=

3

2

-1=

1

2

，

bn+1

bn

=

1 2n+1

1 2n

=

1

2

，
∴数列{b_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列．
（Ⅱ）∵b_n=

1

2n

，
∴

n

bn

=n•2ⁿ，
∴数列{

n

bn

}的前n项和
S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
∴2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=

2×(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹
=-（2-2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺¹），
∴S_n=2-2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺¹=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意数学归纳法、错位相减法和递推思想的合理运用．