【题目】设函数
(1)当时,求函数
在点
处的切线方程;
(2)若函数存在两个极值点
,
①求实数的范围;
②证明:.
【答案】(1);(2)
,证明详见解析.
【解析】
试题本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、利用导数求曲线的切线方程等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,将代入,对
求导,切点的纵坐标为
,斜率为
,利用点斜式写出切线方程;第二问,对
求导,令
,将函数
存在两个极值点
,转化为方程
有两个不同的正根,利用二次函数的图象分析列出不等式,解出a的取值范围;对
求导,求出
的根,得到
的表达式,构造函数
,利用导数判断函数
的单调性,求出最小值,即证明了结论.
试题解析:(1)当a=2时,,
,
则,
,所以切线方程为
.4分
(2)(
),令
,得
,
①函数有两个极值点等价于方程
有两个不同的正根,
设,
所以
,
所以函数有两个极值点
,
,则
,
②由,得
,则
,
,
,
在区间
上递减,
,
所以
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【题目】已知函数.
(1)若在
上单调递减,求
的取值范围;
(2)若在
处取得极值,判断当
时,存在几条切线与直线
平行,请说明理由;
(3)若有两个极值点
,求证:
.
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【题目】甲、乙两超市同时开业,第一年的全年销售额为a万元,由于经营方式不同,甲超市前n年的总销售额为 (n2-n+2)万元,乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a
万元.
(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式;
(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年?
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【题目】某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在).
(1)求居民收入在的频率;
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数;
(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析,则月收入在的这段应抽取多少人?
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【题目】某区的区人大代表有教师6 人,分别来自甲、乙、丙、丁四个学校,其中甲校教师记为,
,乙校教师记为
,
,丙校教师记为C,丁校教师记为D.现从这6 名教师代表中选出 3 名教师组成十九大报告宣讲团,要求甲、乙、丙、丁四个学校中,每校至多选出1名.
(1)请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部可能结果;
(2)求教师被选中的概率;
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【题目】已知函数,在点
处的切线方程为
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)已知,当
时,
恒成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)对于在中的任意一个常数
,是否存在正数
,使得
,请说明理由。
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【题目】某城市通过抽样调查的方法获得了100户居民某月用水量(单位:t)的频率分布直方图:
(Ⅰ)求这100户居民该月用水量的平均值;
(Ⅱ)从该月用水量在和
两个区间的用户中,用分层抽样的方法邀请5户的户主共5人参加水价调整方案听证会,现从这5人中随机选取2人在会上进行陈述发言,求选取的2人均来自用水量低于2.5t的用户的概率.
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【题目】如图,已知菱形与直角梯形
所在的平面互相垂直,其中
,
,
,
,
为
的中点
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)设为线段
上一点,
,若直线
与平面
所成角的正弦值为
,求
的长.
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