Question

15．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点M（-2，$\sqrt{2}$），且离心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点，与圆x²+y²=2交于C，D两点，当|AB|=2$\sqrt{2}$|CD|时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）通过将点M代入椭圆方程、并与e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$联立，计算可知a²=8、b²=4，进而可得结论；
（2）通过（1），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理、两点间距离公式可知|AB|=$\frac{4}{3}$•$\sqrt{12-{m}^{2}}$，利用点到直线的距离公式、半径与半弦长及弦心距之间的关系计算可知|CD|=2$\sqrt{2-\frac{{m}^{2}}{2}}$，利用|AB|=2$\sqrt{2}$|CD|计算即得结论．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点M（-2，$\sqrt{2}$），
∴$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$=1，①
又∵离心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，②
联立①、②解得：a²=8，b²=4，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）由（1），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，
消去y整理得：3x²+4mx+2m²-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{4m}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{3}$，
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-\frac{4m}{3}）^{2}-4•\frac{2{m}^{2}-8}{3}}$
=$\sqrt{2}•$$\frac{2}{3}$•$\sqrt{24-2{m}^{2}}$
=$\frac{4}{3}$•$\sqrt{12-{m}^{2}}$，
∵圆方程为x²+y²=2，
∴圆心为0（0，0），半径r=$\sqrt{2}$，
∴点O到直线l的距离d=$\frac{|0-0+m|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•|m|，
根据半径、半弦长、弦心距之间的关系可知${r}^{2}={d}^{2}+（\frac{|CD|}{2}）^{2}$，
∴|CD|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{2-\frac{{m}^{2}}{2}}$，
∵|AB|=2$\sqrt{2}$|CD|，
∴$\frac{4}{3}$•$\sqrt{12-{m}^{2}}$=$2\sqrt{2}$•2$\sqrt{2-\frac{{m}^{2}}{2}}$，
∴$\sqrt{12-{m}^{2}}$=3$\sqrt{4-{m}^{2}}$，
∴12-m²=9（4-m²），
解得：m=±$\sqrt{3}$，
∴直线l的方程为：y=x$±\sqrt{3}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，涉及韦达定理、两点间距离公式、点到直线的距离公式、半径与半弦长及弦心距之间的关系等基础知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．