Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足

sinB+sinC

sinA

=

2-cosB-cosC

cosA

．
（1）证明：b+c=2a；
（2）如图，点O是△ABC外一点，设∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，当b=c时，求平面四边形OACB面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知条件化简可得sinC+sinB=2sinA，再由正弦定理可得b+c=2a；
（2）由条件和（1）的结论可得△ABC为等边三角形，利用S_△OACB=S_△OAB+S_△OBC=

1

2

OA•OB•sinθ+

3

4

AB2，结合辅助角公式，可得平面四边形OACB面积的最大值．

解答：（1）证明：∵

sinB+sinC

sinA

=

2-cosB-cosC

cosA

，
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA，
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA，
∴sin（A+B）+sin（A+C）=2sinA，
∴sinC+sinB=2sinA，
∴b+c=2a；
（2）解：∵b+c=2a，b=c，
∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形，
∴S_△OACB=S_△OAB+S_△OBC=

1

2

OA•OB•sinθ+

3

4

AB2=sinθ+

3

4

(OA2+OB2-2OA•OB•cosθ)
=sinθ-

3

cosθ+

5 3

4

=2sin(θ-

π

3

)+

5 3

4

．
∵0＜θ＜π，
∴-

π

3

＜θ-

π

3

＜

2π

3

，
当且仅当θ-

π

3

=

π

2

，即θ=

5π

6

时取最大值，最大值为2+

5 3

4

．

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及余弦定理和三角形的面积，考查三角函数的性质，正确表示平面四边形OACB面积是关键．