Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B=B1A=AB=BC，∠B1BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B1D．
（1）求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；
（2）在线段CC1（不含端点）上，是否存在点E，使得二面角E﹣B1D﹣B的余弦值为 ？若存在，求出 的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AB中点为O，连接OD，OB1．

因为B1B=B1A，所以OB1⊥AB．

又AB⊥B1D，OB1∩B1D=B1，所以AB⊥平面B1OD，

因为OD平面B1OD，所以AB⊥OD．

由已知，BC⊥BB1，又OD∥BC，

所以OD⊥BB1，因为AB∩BB1=B，

所以OD⊥平面ABB1A1．

又OD平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB1A1

（2）解：由（1）知，OB，OD，OB1两两垂直．

以O为坐标原点， 的方向为x轴的方向，| |为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．

由题设知B1（0，0， ），B（1，0，0），D（0，1，0），A（﹣1，0，0），C（1，2，0），C1（0，2， ）．

∴ =（0，1，﹣ ）， =（1，0，﹣ ），

设 =λ ，（0＜λ＜1），则 = =（1﹣λ，2， ），

设平面BB1D的法向量 =（x，y，z），

则 ，取z=1，得 =（ ），

设平面B1DE的法向量 =（x，y，z），

则 ，取z=1，得 =（ ， ，1），

∵二面角E﹣B1D﹣B的余弦值为 ，

∴﹣|cos＜ ＞|=﹣ =﹣ =﹣ ，

解得λ= ，

∴在线段CC1（不含端点）上，存在点E，使得二面角E﹣B1D﹣B的余弦值为 ，且 = ．

【解析】（1）取AB中点为O，连接OD，OB1 ． 推导出OB1⊥AB，AB⊥B1D，从而AB⊥平面B1OD，进而AB⊥OD．再求出BC⊥BB1 ， OD⊥BB1 ， 从而OD⊥平面ABB1A1 ． 由此能证明平面ABC⊥平面ABB1A1 ． （2）以O为坐标原点， 的方向为x轴的方向，| |为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法求出在线段CC1（不含端点）上，存在点E，使得二面角E﹣B1D﹣B的余弦值为 ，且 = ．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平面与平面垂直的判定(一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直)．