Question

如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．
（1）求证：AB⊥平面PCB；
（2）求异面直线AP与BC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）由线面垂直的性质可得PC⊥AB，CD⊥AB，从而证明AB⊥平面PCB．
（2）过点A作AF∥BC，且AF=BC，∠PAF为异面直线PA与BC所成的角，直角三角形中利用边角关系求得所求角的
正切值，即得所求角的大小．

解答：解：（1）∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PC⊥AB．
∵CD⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴CD⊥AB．
又PC∩CD=C，∴AB⊥平面PCB．
（2）过点A作AF∥BC，且AF=BC，连接PF，CF．
则∠PAF为异面直线PA与BC所成的角．由（1）可得AB⊥BC，
∴CF⊥AF．  由三垂线定理，得PF⊥AF．
则AF=CF=

2

，PF=

PC2+CF2

=

6

．
在Rt△PFA中，tan∠PAF=

PF

AF

=

6

2

=

3

，∴∠PAF=

π

3

，
∴异面直线PA与BC所成的角为

π

3

．

点评：本题考查证明线面垂直的方法，求异面直线所成的角，找出异面直线所成的角是解题的关键．