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    【题目】已知抛物线，过抛物线焦点的直线分别交抛物线和圆于点(自上而下)．

    （1）求证：为定值；

    （2）若、、成等差数列，求直线的方程．

    【答案】（1）见解析（2）．

    【解析】

    （1）讨论当直线过焦点且垂直于轴时，四点坐标可直接求出，可求得，当直线过焦点且不垂直于轴时，设直线方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，即可得到定值；

    （1）由、、成等差数列，可得，从而可得，而，，列方程可求出斜率，从而可求出直线方程.

    （1）由题知，焦点，圆半径；

    ①当斜率不存在时，，交点，此时；

    ②当斜率存在时，设，

    联立，消去得

    由韦达定理得，显然恒成立

    由抛物线定义得，同理，

    所以．

    （2）由成等差数列，得

    所以弦长

    由（1）知显然斜率存在，由抛物线定义得

    故，解得，

    所以直线的方程为．

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    【题目】直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的短轴长为，离心率为.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）斜率为1且经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于P1、P2两点，P是椭圆上任意一点，若（λ，μ∈R），证明：λ2+μ2为定值.

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    【题目】某省即将实行新高考，不再实行文理分科.某校为了研究数学成绩优秀是否对选择物理有影响，对该校2018级的1000名学生进行调查，收集到相关数据如下：

    （1）根据以上提供的信息，完成列联表，并完善等高条形图；

    选物理

    不选物理

    总计

    数学成绩优秀

    数学成绩不优秀

    260

    总计

    600

    1000

    （2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关？

    附：

    临界值表：

    0.10

    0.05

    0.010

    0.005

    0.001

    2.706

    3.841

    6.635

    7.879

    10.828

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

    （Ⅰ）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

    （Ⅱ）已知点是曲线上的任意一点，当点到直线的距离最大时，求经过点且与直线平行的直线的方程.

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    【题目】已知O为坐标原点，，，直线AG，BG相交于点G，且它们的斜率之积为.记点G的轨迹为曲线C.

    （1）若射线与曲线C交于点D，且E为曲线C的最高点，证明：.

    （2）直线与曲线C交于M，N两点，直线AM，AN与y轴分别交于P，Q两点.试问在x轴上是否存在定点T，使得以PQ为直径的圆恒过点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.

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    【题目】已知函数，．

    （1）设两点，，且，若函数的图象分别在点、处的两条切线互相垂直，求的最小值；

    （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

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    【题目】在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过元.已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为元、元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能少于人，那么下列说法中错误的是（ ）

    A.最多可以购买份一等奖奖品

    B.最多可以购买份二等奖奖品

    C.购买奖品至少要花费元

    D.共有种不同的购买奖品方案

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为,且成绩分布在,分数在以上(含)的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示．

    (Ⅰ)求的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

    (Ⅱ)填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”．

    女生

    男生

    总计

    获奖

    不获奖

    总计

    附表及公式：

    其中,．

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    【题目】“工资条里显红利，个税新政人民心”我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段.2019年1月1日实施的个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）收人个税起征点专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如下：

    旧个税税率表（个税起征点3500元）

    新个税税率表（个税起征点5000元）

    缴税基数

    每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点

    税率（%）

    每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除

    税率（%）

    1

    不超过1500元的部分

    3

    不超过3000元的部分

    3

    2

    超过1500元至4500元的部分

    10

    超过3000元至12000元的部分

    10

    3

    超过4500元至9000元的部分

    20

    超过12000元至25000元的部分

    20

    4

    超过9000元至35000元的部分

    25

    超过25000元至35000元的部分

    25

    5

    超过35000元至55000元的部分

    30

    超过35000元至55000元的部分

    30

    …

    …

    …

    …

    …

    随机抽取某市2020名同一收入层级的从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2019年的人均月收入24000元，统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是；此外，他们均不符合其他专项附加扣除，新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等.假设该市该收入层级的从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的从业者的人均月收入视为其个人月收入，根据样本估计总体的思想，解决如下问题：

    （1）求在旧政策下该收入层级的从业者每月应纳的个税；

    （2）设该市该收入层级的从业者2019年月缴个税为X元，求X的分布列和期望；

    （3）根据新旧个税方案，估计从2019年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的从业者各月少缴纳的个税之和就超过2019年的人均月收入？

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