Question

6．设向量$\vec a=（{1，2}）$，$\vec b=（{\frac{1}{{{n^2}+n}}，{a_n}}）$（n∈N^*），若$\vec a∥\vec b$，设数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n的最小值为1．

Answer 1

分析 利用向量共线求出数列的通项公式，然后求解数列的前n项和．

解答 解：向量$\vec a=（{1，2}）$，$\vec b=（{\frac{1}{{{n^2}+n}}，{a_n}}）$（n∈N^*），若$\vec a∥\vec b$，
可得a_n=$\frac{2}{{n}^{2}+n}$=2（$\frac{1}{n}$$-\frac{1}{n+1}$）．
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=2[1$-\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$$-\frac{1}{n+1}$]=$\frac{2n}{n+1}$．
数列{S_n}是递增数列，
S_n的最小值为：S₁=1．
故答案为：1．

点评 本题考查向量与数列相结合，数列的函数特征，考查分析问题解决问题的能力．