Question

【题目】如果对一切实数x、y，不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣ 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.（﹣∞， ]
B.[3，+∞）
C.[﹣2 ，2 ]
D.[﹣3，3]

Answer 1

【答案】D
【解析】解：实数x、y，不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣ 恒成立 + ≥asinx+1﹣sin2x恒成立， 令f（y）= + ，
则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min ，
当y＞0时，f（y）= + ≥2 =3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）min=3；
当y＜0时，f（y）= + ≤﹣2 =﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；
综上所述，f（y）min=3．
所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．
①若sinx＞0，a≤sinx+ 恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+ （0＜t≤1），则a≤g（t）min ．
由于g′（t）=1﹣ ＜0，
所以，g（t）=t+ 在区间（0，1]上单调递减，
因此，g（t）min=g（1）=3，
所以a≤3；
②若sinx＜0，则a≥sinx+ 恒成立，同理可得a≥﹣3；
③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；
综合①②③，﹣3≤a≤3．
故选：D．
将不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣ 恒成立转化为 + ≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）= + ，利用基本不等式可求得f（y）min=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对inx＞0、sinx＜0、sinx=0三类讨论，
可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．