Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为A₁D₁和CC₁的中点．
（1）画出由A，E，F确定的平面β截正方体所得的截面；（保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
（2）求异面直线直线EF和AC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）取BC的四等分点G（靠近C的），D₁C₁的四等分点H（靠近C₁的），则五边形AGFHE即为由A，E，F确定的平面β截正方体所得的截面；
（2）由（1）可知EH∥AC，故∠HEF（或其补角）即为异面直线直线EF和AC所成角，设出正方体的棱长在△HEF中，由余弦定理可得∠HEF，即可得答案．

解答：解：（1）如图，取BC的四等分点G（靠近C的），D₁C₁的四等分点H（靠近C₁的），
则五边形AGFHE即为由A，E，F确定的平面β截正方体所得的截面，
（2）由（1）可知EH∥AC，故∠HEF（或其补角）即为异面直线直线EF和AC所成角，
设正方体的棱长为4，可得EH=

22+32

=

13

，HF=

12+22

=

5

，
EF=

22+42+22

=2

6

，在△HEF中，由余弦定理可得
cos∠HEF=

13+24-5

2× 13 ×2 6

=

4 78

39

，故∠HEF=arccos

4 78

39

，
故异面直线直线EF和AC所成角的大小为：arccos

4 78

39

点评：本题考查异面直线所成的角，涉及正方体的截面问题，属中档题．