【题目】已知函数,.
(1)若,证明:;
(2)若,有且只有个零点,求实数的取值范围;
(3)若,,,求正整数的最小值.
【答案】(1)证明见解析;(2)(3)2
【解析】
(1)将代入,求导后根据单调性求出函数的最大值,即可证明;
(2)由有且只有个零点,对分类讨论,得的极大值大于,得出实数的取值范围,再根据(1)验证由有且只有个零点即可;
(3)构造函数,根据,求出函数的最大值,再代入,即可得到正整数的最小值
(1)由题知,,,
所以,当时,,在上单调递增;
当时,,在上单调递减;
所以;
(2)因为,
当时,,在上单调递增,不可能有个零点,
当时,令,解得,
所以,当时,,在上单调递增;
当时,,在上单调递减;
所以,
若只有个零点,则,解得:,
由(1)知:,所以,令,
解得:或,
所以,存在,满足;
存在,满足;
所以在和上个恰有个零点,符合题意,
综上,所求实数的取值范围为;
(3)令,
所以,
,.
令,得,所以当时,,当时,.
因此函数在上是增函数,在是减函数,
所以,
令,因为,,
又因为在上是减函数,所以当时,,
所以整数的最小值为.
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【题目】在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为(米/单位时间),单位时间内用氧量为(为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为(米/单位时间), 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为.
(1)将表示为的函数;
(2)设0<≤5,试确定下潜速度,使总的用氧量最少.
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【题目】图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为,,,的中点,在此几何体中,给出下面五个结论:①平面平面ABCD;②平面BDG;③平面PBC;④平面BDG;⑤平面BDG.
其中正确结论的序号是________.
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【题目】若函数为定义域上单调函数,且存在区间(其中),使得当时,的值域恰为,则称函数是上的正函数,区间叫做等域区间.如果函数是上的正函数,则实数的取值范围为 ▲ .
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【题目】为了解某市的交通状况,现对其6条道路进行评估,得分分别为:5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如表
评估的平均得分 | (0,6] | (6,8] | (8,10] |
全市的总体交通状况等级 | 不合格 | 合格 | 优秀 |
(1)求本次评估的平均得分,并参照上表估计该市的总体交通状况等级.
(2)用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条,它们的得分组成一个样本,求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超0.5的概率.
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【题目】如图,圆:.
(Ⅰ)若圆C与x轴相切,求圆C的方程;
(Ⅱ)已知,圆与x轴相交于两点(点在点的左侧).过点任作一条直线与圆:相交于两点A,B.问:是否存在实数a,使得=?若存在,求出实数a的值,若不存在,请说明理由.
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