Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n+1，求证：数列{a_n}是等比数列，并求出通项公式．

Answer 1

证明：∵S_n=2a_n+1，∴S_n+1=2a_n+1+1．
∴S_n+1-S_n=（2a_n+1+1）-（2a_n+1）=2a_n+1-2a_n.
∴a_n+1=2a_n．                 ①
又∵S₁=a₁=2a₁+1，∴a₁=-1≠0．
由①知，a_n≠0，
∴由=2知，数列{a_n}是等比数列，a_n=-2^n-1．

要证数列是等比数列，关键是看a_n与a_n-1之比是否为一常数，由题设还需利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得a_n．
（1）本题证明，关键是用等比数列的定义，其中说明a_n≠0是非常重要的．证明中，也可以写出S_n-1=2a_n-1+1，从而得到a_n=2a_n-1，只能得到n≥2时，{a_n}是等比数列，得到n≥2时，a_n=-2^n-1，再将n=1时，a₁=-1代入验证．
（2）证明一个数列是等比数列，常用方法是：①要证明一个数列{a_n}是等比数列，只要证明对于任意自然数n，都等于同一个常数即可．②对于一个数列，除了首项和末项（有穷数列）外，任何一项都是它的前后两项的等比中项，则此数列是等比数列．