Question

2．已知函数y=f（x）的定义域为I，如果存在[a，b]⊆I，使函数f（x）在[a，b]上的值域为[ka，kb]，k是正常数，那么称函数y=f（x），x∈I为闭函数．
（Ⅰ）当k=$\frac{1}{2}$时，判断函数f（x）=$\sqrt{x}$是否是闭函数？若是，则求出区间[a，b]；
（Ⅱ）当k=$\frac{1}{2}$时．若函数f（x）=$\sqrt{x}$+t是闭函数，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）当k=1时，是否存在实数m，当a+b≤2时，使函数f（x）=x²-2x+m是闭函数？若存在，求出实数m的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）y=$\sqrt{x}$的定义域是[0，+∞），在[0，+∞）上是单调增函数，设y=$\sqrt{x}$在[a，b]的值域是[$\sqrt{a}$，$\sqrt{b}$]，能求出区间是[a，b]．
（Ⅱ）设g（x）=$\sqrt{x}$+t，则g（x）是定义域[0，+∞）上的增函数，由g（x）是闭函数，知存在区间[a，b]?[0，+∞），满足g（a）=$\frac{1}{2}$a，g（b）=$\frac{1}{2}$b，由此能求出实数t的取值范围．
（Ⅲ）由f（x）=x²-2x+m是闭函数，且k=1，知当a＜b≤1时，f（x）在[a，b]上单调递减，由此能推导出m的范围

解答 解：（Ⅰ）y=$\sqrt{x}$的定义域是[0，+∞），
∵y=$\sqrt{x}$在[0，+∞）上是单调增函数，
设y=$\sqrt{x}$在[a，b]的值域是[$\sqrt{a}$，$\sqrt{b}$]，
由$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{a}=\frac{1}{2}a\\ \sqrt{b}=\frac{1}{2}b\\ a＜b\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=4\end{array}\right.$，
故函数y=$\sqrt{x}$是闭函数，且这个区间是[0，4]．
（Ⅱ）设g（x）=$\sqrt{x}$+t，则g（x）是定义域[0，+∞）上的增函数，
∵g（x）为闭函数，
∴存在区间[a，b]?[0，+∞），满足g（a）=$\frac{1}{2}$a，g（b）=$\frac{1}{2}$b，
∴方程g（x）=$\frac{1}{2}$x在[0，+∞）内有两个不等实根，
方程$\sqrt{x}$+t=$\frac{1}{2}$x在[0，+∞）内有两个不等实根，
令$\sqrt{x}$=m，则其化为m+t=$\frac{1}{2}$m²，
即m²-2m-2t=0有两个非负的不等实根，
∴$\left\{\begin{array}{l}△=4+8t＞0\\-2t≥0\end{array}\right.$，解得-$\frac{1}{2}$＜t≤0．
（Ⅲ）f（x）=x²-2x+m是闭函数，且k=1，
∴当a＜b≤1时，f（x）在[a，b]上单调递减，
①f（a）=m-2a+a²=b＞1，
f（1）=m-1=a＜1，
a+b≤2，
解得 0≤m＜1；
②f（b）=m-2b+b²=b＞1，
f（1）=m-1=a＜a+b≤2 无解
$\left\{\begin{array}{l}b=m-2a+{a}^{2}\\ a=m-2b+{b}^{2}\end{array}\right.$，
两式相减，得a+b=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}1-a=m-2a+{a}^{2}\\ 1-b=m-2b+{b}^{2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}0=m-1-a+{a}^{2}\\ 0=m-1-b+{b}^{2}\end{array}\right.$，
∴方程0=m-1-x+x²在x≤1上有两个不同的解，
解得m∈[1，$\frac{5}{4}$）．
当a＜1≤b时有：
①f（a）=m-2a+a²=b＞1，
f（1）=m-1=a＜1，a+b≤2，解得0≤m＜1；
②f（b）=m-2b+b²=b＞1，
f（1）=m-1=$\frac{1}{a}$+b≤2，无解．
综上所述，m∈[0，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查二次函数的性质的应用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．