Question

2．（1）若log₆7=a，log₃4=b，求log₁₂7的值．
（2）若函数f（x）=lg$\frac{1+{2}^{x}+{3}^{x}a}{3}$在（-∞，1]有意义，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用对数的换底公式、对数的运算法则即可得出．
（2）f（x）在x∈（-∞，1）内恒有意义可化为$\frac{1+{2}^{x}+{3}^{x}a}{3}$＞0在（-∞，1）上恒成立；即a＞-[（$\frac{2}{3}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x]在（-∞，1）上恒成立；从而解得．

解答 解：（1）∵log₃4=$\frac{lo{{g}_{2}}^{4}}{lo{{g}_{2}}^{3}}$=$\frac{2}{lo{{g}_{2}}^{3}}$=b，
∴$lo{{g}_{2}}^{3}$=$\frac{2}{b}$，
∴log₁₂7=$\frac{lo{{g}_{6}}^{7}}{lo{{g}_{6}}^{2}+1}$=$\frac{a}{\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{3}+lo{{g}_{2}}^{2}}+1}$=$\frac{a}{\frac{1}{\frac{2}{b}+1}+1}$=$\frac{a（b+2）}{2（b+1）}$；
（2））∵f（x）在x∈（-∞，1）内恒有意义，
∴$\frac{1+{2}^{x}+{3}^{x}a}{3}$＞0在（-∞，1）上恒成立；
∴a＞-[（$\frac{2}{3}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x]在（-∞，1）上恒成立；
又∵y=-[（$\frac{2}{3}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x]在（-∞，1）上是增函数，
故a≥-[（$\frac{2}{3}$）¹+（$\frac{1}{3}$）¹]=-1；
故a的取值范围为[-1，+∞）．

点评 本题考查了对数的换底公式、对数的运算法则，属于基础题．