Question

【题目】已知函数g（x）=a﹣x2（ ≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】[1，e2﹣2]
【解析】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx﹣a=2lnx﹣x2在[ ，e]上有解． 设f（x）=2lnx﹣x2 ， 求导得：f′（x）= ﹣2x= ，
∵ ≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，
∵f（ ）=﹣2﹣ ，f（e）=2﹣e2 ， f（x）极大值=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（ ），
故方程﹣a=2lnx﹣x2在[ ，e]上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．
从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．
所以答案是：[1，e2﹣2]
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．