Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若a≠c且f（1）=0，证明：方程f（x）=0有两个不同实数根；
（2）证明：若x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），则方程f(x)-

f(x 1)+f(x 2)

2

=0必有一实根在区间 （x₁，x₂）内．

Answer 1

分析：（1）要证明方程f（x）=0有两个不同实数根，只要△=b²-4ac=（a+c）²-4ac＞0即可；
（2）令g（x）=f（x）-

f(x1)+f(x2)

2

，则由g（x₁）=f（x₁）-

f(x1)+f(x2)

2

=

f(x1)-f(x2)

2

，g（x₂）=f（x₂）-

f(x1)+f(x2)

2

=-

f(x1)-f(x2)

2

及g（x）的图象是连续可证．

解答：解：（1）∵f（1）=0
∴a+b+c=0，即b=-a-c； （2分）
又对f（x）=0有△=b²-4ac=（-a-c）²-4ac=（a-c）²
∵a≠c，∴△=（a-c）²＞0．故方程f（x）=0有两个不同实数根；（6分）
（2）设g(x)=f(x)-

f(x 1)+f(x 2)

2

（8分）
考虑：

g(x1)g(x2)=[f(x1)- f(x 1)+f(x 2) 2 ][f(x2)- f(x 1)+f(x 2) 2 ] = [f(x 1)-f(x 2)][f(x 2)-f(x 1)] 4 ＜0

∴对二次函数y=g（x）的图象在（x₁，x₂）内必至少穿过横轴一次，
∴方程f(x)=

f(x 1)+f(x 2)

2

必有一实根在区间 （x₁，x₂）内．（12分）

点评：本题主要考查了二次函数的性质的应用，函数与方程的相互转化，一元二次方程的根的分布与系数的关系，解题的关键是灵活应用二次函数的性质．