Question

【题目】已知数列{an}的各项均为正数，其前n项的和为Sn ， 且对任意的m，n∈N*，
都有（Sm+n+S1）2=4a2ma2n ．
（1）求 的值；
（2）求证：{an}为等比数列；
（3）已知数列{cn}，{dn}满足|cn|=|dn|=an ， p（p≥3）是给定的正整数，数列{cn}，{dn}的前p项的和分别为Tp ， Rp ， 且Tp=Rp ， 求证：对任意正整数k（1≤k≤p），ck=dk ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由（Sm+n+S1）2=4a2ma2n．取m=n=1，可得 ，

∵a1，a2＞0，∴a2+2a1=2a2，化为 =2

（2）证明：由（Sm+n+S1）2=4a2ma2n．

令m=n，可得S2n+a1=2a2n，①

∴S2n+2+a1=2a2n+2．②

令m=n+1，可得 ，③

∴③﹣①可得：a2n+1=2 ﹣2a2n= ，④

②﹣③可得：a2n+2= ，⑤

由④⑤可得： ，⑥

把⑥代入④可得：a2n+1=2a2n，

把⑥代入⑤可得：a2n+2=2a2n+1，

∴ =2，又 =2．∴ ，n∈N*．

∴{an}为等比数列，首项为a1，公比为2

（3）证明：由（2）可知：an= ，

∵|cn|=|dn|=an= ，

∴cp=±dp，若cp=﹣dp，

不妨设cp＞0，cp＜0，

则Tp≥ ﹣ = ﹣ =a1＞0，

Rp≤﹣ + =﹣ + =﹣a1＜0，

这与Tp=Rp矛盾，∴cp=dp，

于是Tp﹣1=Rp﹣1，可得cp﹣1=dp﹣1，于是cp﹣2=dp﹣2，…，c1=d1．

∴对任意正整数k（1≤k≤p），ck=dk．

【解析】（1）由（Sm+n+S1）2=4a2ma2n ． 取m=n=1，可得 ，利用a1 ， a2＞0，即可得出．（2）由（Sm+n+S1）2=4a2ma2n ． 令m=n，可得S2n+a1=2a2n ， S2n+2+a1=2a2n+2 ． 令m=n+1，可得 ，化简整理可得：a2n+1=2a2n ， a2n+2=2a2n+1 ， 利用等比数列的通项公式即可得出．（3）由（2）可知：an= ，由于|cn|=|dn|=an= ，可得cp=±dp ， 若cp=﹣dp ， 不妨设cp＞0，cp＜0，则Tp≥a1＞0，Rp≤﹣a1＜0，这与Tp=Rp矛盾，可得cp=dp ， 于是Tp﹣1=Rp﹣1 ， 即可证明．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．