Question

设双曲线(a＞0,b＞0)的右顶点为A,P是双曲线上异于顶点的一个动点,从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.(如图)

(1)证明无论P点在什么位置，总有||²=|·|(O为坐标原点）；

(2)若以OP为边长的正方形面积等于以双曲线实、虚轴长为边长的矩形的面积，求双曲线离心率的取值范围.

Answer 1

(1)证明:设OP:y=kx,又根据条件可设AR:y=(x-a),解得R(,).?

∴=(,).                                                                               ?

又∵AQ:y=-(x-a),?

同理可得=(,),?

∴|·|=.                                                                                   ?

设=(M,n),则由双曲线方程与OP方程联立解得m²=,n²=,?

||²=m²+n²=+=.?

∵点P在双曲线上,∴b²-a²k²＞0.?

∴无论P点在什么位置,总有||²=|·|.                                               ?

(2)解:由条件得=4AB,即k²=＞0.?

∴4b＞a.∴＞.                                                                                                        ?

又∵e====＞=,?

∴e＞.