Question

如图，在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=

2

，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点
（1）证明：AD⊥平面DEF
（2）求二面角P-AD-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的判定定理进行证明是解决本题的关键，在平面DEF中找两条相交直线与AD垂直，利用60°角菱形的特征可以发现AD⊥DE，通过取出AD的中点构造一个平面可以证明AD⊥EF；
（2）利用（1）中的结论找到二面角P-AD-B的平面角是解决本题的关键，求角往往要利用三角形中的余弦定理．

解答：解：（1）取AD的中点G，连接PG，BG，在△ABG中，根据余弦定理可以算出BG=

12+( 1 2 )2-2×1× 1 2 ×cos60°

=

3

2

，
发现AG²+BG²=AB²，可以得出AD⊥BG，又DE∥BG
∴DE⊥AD，
又PA=PD，可以得出AD⊥PG，而PG∩BG=G，
∴AD⊥平面PBG，而PB?平面PBG，
∴AD⊥PB，又PB∥EF，
∴AD⊥EF．又EF∩DE=E，∴AD⊥平面DEF．
（2）由（1）知，AD⊥平面PBG，所以∠PGB为二面角P-AD-B的平面角，在△PBG中，PG=

2- 1 4

=

7

2

，BG=

3

2

，PB=2，由余弦定理得
cos∠PGB=

PG2+BG2-PB2

2PG•BG

=-

21

7

，因此二面角P-AD-B的余弦值为-

21

7

．

点评：本题考查立体几何中基本的线面关系，考查线面垂直的判定方法，考查二面角的求法，训练了学生基本的空间想象能力，考查学生的转化与化归思想，解三角形的基本知识和学生的运算能力，属于基本的立体几何题．