如图.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.M.N分别为AB.BC的中点．(1)当点P在DD1上运动时.是否都有MN∥平面A1C1P?证明你的结论,(2)当点P在何位置时.二面角P-MN-B1 为直二面角,(3)按图中示例.在给出的方格纸中.用事先再画出此正方体的4个形状不同的表面展开图.且每个展开提均满足条件“有四个正方形连成一个长� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为AB、BC的中点．
（1）当点P在DD₁上运动时，是否都有MN∥平面A₁C₁P？证明你的结论；
（2）当点P在何位置时，二面角P-MN-B₁ 为直二面角；
（3）按图中示例，在给出的方格纸中，用事先再画出此正方体的4个形状不同的表面展开图，且每个展开提均满足条件“有四个正方形连成一个长方形”．（如果多画，则按前4个记分）

分析：（1）当点P在DD₁上移动时，都有MN∥平面A₁C₁P．由线面平行的判定定理证明即可
（2）设DP=t，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够推导出当DP=

时，二面角P-MN-B₁ 为直二面角．
（3）由正方体12种展开图，选其中“1-4-1”的情况即可．

解答：解：（1）当点P在DD₁上移动时，都有MN∥平面A₁C₁P …（1分）
证明如下：
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=CC₁，AA₁∥CC₁∴四边形AA₁C₁C是平行四边形，
∴AC∥A₁C₁
由（1）知MN∥AC，
∴MN∥A₁C₁
又∵MN?面A₁C₁P，A₁C₁?平面A₁C₁P，
∴MN∥平面A₁C₁P，…（4分）
（2）设DP=t，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则M（1，

，0），N（

，1，0），B₁（1，1，1），P（0，0，t），
∴

=（-

，

，0），

MB1

=（0，

，1），

=（-1，-

，t），
设平面MNB₁的法向量为

=（x，y，z），则

•

=0，

MB1

•

=0，
∴

x+z=0

y=0

，解得

=（2，2，-1）．
设平面MNP的法向量为

=(x1，y1，z1)，则

•

=0，

•

=0，
∴

x1+

y1=0

-x1-

y1+tz1=0

，解得

=（1，1，

t），
∵二面角P-MN-B₁ 为直二面角，
∴

•

=2+2-

t=0，解得t=

．
故当DP=

时，二面角P-MN-B₁ 为直二面角．…（9分）
（3）符合条件的表面展开图还有5个，如图，正确画出一个得（1分）…（13分）

点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．

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