Question

10．设P：关于x的不等式a^x＜1（a＞0且a≠0）的解集是{x|x＞0}，q：函数y=lg（ax-x+a）的定义域为R，若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．

Answer 1

分析 P：关于x的不等式a^x＜1（a＞0且a≠0）的解集是{x|x＞0}，利用指数函数的单调性可得0＜a＜1；q：函数y=lg（ax-x+a）=lg[（a-1）x+a]的定义域为R，则（a-1）x+a＞0对于x∈R恒成立，对a分类讨论即可得出．由于p∧q为假，p∨q为真，可得p与q必然一真一假，即可得出．

解答 解：P：关于x的不等式a^x＜1（a＞0且a≠0）的解集是{x|x＞0}，∴0＜a＜1；
q：函数y=lg（ax-x+a）=lg[（a-1）x+a]的定义域为R，则（a-1）x+a＞0对于x∈R恒成立，当a-1=0，即a=1时，满足题意；当a≠1时，不满足题意．因此a=1．
若p∧q为假，p∨q为真，
∴p与q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a≠1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a≤0或a≥1}\\{a=1}\end{array}\right.$，
解得0＜a≤1．
∴a的取值范围是（0，1]．

点评 本题考查了指数函数与对数函数的单调性、一次函数的单调性、不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．