Question

过抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点M(

p

2

，p)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于A、B两点．
（1）求证：直线AB的斜率为定值；
（2）已知A、B两点均在抛物线C：y²=2px（y≤0）上，若△MAB的面积的最大值为6，求抛物线的方程．

Answer 1

分析：（1）不妨设A(

y 2 1

2p

，y1)   B(

y 2 2

2p

，y2)，由K_AM=-k_BM可得y₁+y₂=-2p．利用斜率公式可求
（2）AB的方程为：y-y1=-(x-

y 2 1

2p

)，即x+y-y1-

y 2 1

2p

=0，由点M到AB的距离d=

|3p2-2py1- y 2 1 |

2 2 p

及AB=

2

|x1-x2|=

2

|

y 2 2

2p

-

y 2 1

2p

|=

2

2p

|y1+y2||y1-y2|= 2

2

|p+y1|，令p+y₁=t，可表示S△MAB=

1

2

•2

2

|p+y1 |•

|3p2-2py1- y 2 1 |

2 2 p

=

1

2p

|p+y1|，设f（t）=|4p²t-t³|，由偶函数的性质，只需考虑t∈[0，p]，利用导数的知识可得，f（t）在[0，p]单调递增可求三角形的面积的最大值，进而可求p及抛物线的方程

解答：证明：不妨设A(

y 2 1

2p

，y1)   B(

y 2 2

2p

，y2)
由K_AM=-k_BM可得y₁+y₂=-2p
∴KAB=

y1-y2

y 2 1 2p - y 3 2 2p

=-1
（2）AB的方程为：y-y1=-(x-

y 2 1

2p

)，即x+y-y1-

y 2 1

2p

=0
点M到AB的距离d=

|3p2-2py1- y 2 1 |

2 2 p

AB=

2

|x1-x2|=

2

|

y 2 2

2p

-

y 2 1

2p

|=

2

2p

|y1+y2||y1-y2|= 2

2

|p+y1|
又由y₁+y₂=-2p，y₁y₂＜0y₁∈[-2p，0]
令p+y₁=t∴t∈[-p，p]
S△MAB=

1

2

•2

2

|p+y1 |•

|3p2-2py1- y 2 1 |

2 2 p

=

1

2p

|4p2t-t3|
设f（t）=|4p²t-t³|为偶函数，故只需考虑t∈[0，p]
f（t）=4p²t-t³，f′（t）=4p²-3t²＞0，f（t）在[0，p]单调递增
当t=p时，f（t）的最小值为：3p³
S△MAB=

1

2p

•3p3=

3p2

2

=6
∴p=2，抛物线方程为：y²=4x

点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，要求考试具备一定的计算与推理的能力，试题具有一定的综合性．