Question

某企业为适应市场需求，准备投入资金16万元生产W和R型两种产品．经市场预测，生产W型产品所获利润y_W（万元）与投入资金x_W（万元）成正比例关系，且当投入资金为6万元时，可获利润1.5 万元．生产R型产品所获利润y_R（万元）与投入资金x_R（万元）满足关系yR=

1

2

xR

．为获得最大总利润，问生产W、R型产品各应投入资金多少万元？获得的最大总利润是多少？

Answer 1

分析：若设生产R型产品投入资金为x万元，则生产W型产品投入资金为（16-x）万元，所获总利润y=

1.5

6

（16-x）+

1

2

x

，其中x∈[0，16]，通过换元，令

x

=t，则y=-

1

4

t2+

1

2

t+4=-

1

4

(t-1)2+

17

4

；容易求得y的最大值以及对应的x的值．

解答：解：设生产R型产品投入资金为x万元，则生产W型产品的投入资金为（16-x）万元，所获总利润为y万元．
则由题意，得：y=

1

4

(16-x)+

1

2

x

，x∈[0，16]
令

x

=t，则y=-

1

4

t2+

1

2

t+4=-

1

4

(t-1)2+

17

4

所以t=1，即x=1²=1时，y取最大值ymax=

17

4

（万元）
此时，16-x=15（万元）
所以，生产W型产品投入资金15万元，R型产品投入1万元时，获得最大总利润，是

17

4

万元．

点评：本题通过换元法，考查了二次函数模型的应用，并且利用二次函数的性质求其最值问题，是基础题．