Question

学校为扩大规模，把后山一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形运动场地．已知AB⊥BC，OA∥BC，AB=BC=2OA=40m，曲线段OC是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段（如图所示）．如果要使矩形的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使运动场地面积最大？

Answer 1

分析：建立平面直角坐标系，设曲线段OC所在的抛物线方程，利用点C的坐标为（20，40），求出抛物线的方程，进而可表示矩形的面积，利用导数的方法，即可求得结论．

解答：解：建立平面直角坐标系如图所示，设曲线段OC所在的抛物线方程为y=ax²（a＞0）…（2分）

由已知得点C的坐标为（20，40），代入方程得a=

1

10

∴抛物线的方程为y=

1

10

x2…（4分）
设矩形运动场在曲线段OC上的顶点（x，

1

10

x2），则矩形面积

S=(20+x)(40- 1 10 x2)

=

- 1 10 x3-2x2+40x+800(0≤

x＜20)…（6分）
∴S′=-

1

10

(x+20)(3x-20)
令S′=0，可得x=-20或x=

20

3

∵0≤x＜20，∴x=

20

3

当0＜x＜

20

3

时，S′＞0；当x＞

20

3

时，S′＜0
∴x=

20

3

是S的极大值点，也是最大值点…（11分）
答：当矩形的长为

80

3

m．宽为

320

9

m时，运动场地面积最大…（12分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查利用导数法求最值，解题的关键是确定函数的模型，属于中档题．