Question

在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知

a

3 cosA

=

c

sinC

．
（1）求A的大小；
（2）若a=6，求b+c的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由条件结合正弦定理得：

a

3 cosA

=

c

sinC

=

a

sinA

，从而解得tanA=

3

，由0＜A＜π，即可求得A的值．
（Ⅱ）通过余弦定理以及基本不等式求出b+c的范围，再利用三角形三边的关系即可求出b+c的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由条件结合正弦定理得：

a

3 cosA

=

c

sinC

=

a

sinA

，
从而sinA=

3

cosA，tanA=

3

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

．
（Ⅱ）由已知：b＞0，c＞0，b+c＞a=6．
由余弦定理得：a²=36=b²+c²-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-

3

4

（b+c）²=

1

4

（b+c）²，
（当且仅当b=c时等号成立）
∴（b+c）²≤4×36，又b+c＞6，
∴6＜b+c≤12，

点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角形的边角关系式，以及基本不等式求最值，考查分析问题、解决问题的能力，属于基本知识的考查．