Question

10．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x-x²．
（1）求x＞0时，f（x）的解析式；
（2）问是否存在这样的正实数a，b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[4a-2，6b-6]？若存在，求出所有的a，b值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）为奇函数，可设x＞0，从而-x＜0，从而f（-x）=-x-x²=-f（x），解出f（x）即可得出x＞0时的f（x）的解析式；
（2）由上面x＞0时，f（x）=x²+x，从而可判断此时f（x）在（0，+∞）上单调递增，从而可根据题意有$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=4a-2}\\{f（b）=6b-6}\end{array}\right.$，这样解出a，b，并满足a＜b，即可找出所有的a，b值．

解答 解：（1）设x＞0，则-x＜0，于是f（-x）=-x-x²；
又f（x）为奇函数，即f（-x）=-f（x）；
即x＞0时，f（x）=x+x²；
（2）假设存在这样的数a，b；
∵a＞0，且f（x）=x+x²在x＞0时为增函数；
∴x∈[a，b]时，f（x）∈[f（a），f（b）]=[4a-2，6b-6]；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+a=4a-2}\\{{b}^{2}+b=6b-6}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2，或3}\\{a=1，或2}\end{array}\right.$；
即$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=3}\end{array}\right.$；
∵a＜b；
∴a，b的取值为$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=3}\end{array}\right.$．

点评 考查奇函数的定义，二次函数的单调性，以及增函数在闭区间上的值域求法，注意条件a＜b．