Question

【题目】已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C 的轨迹方程；

（2）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．

Answer 1

【答案】（1） （2）最小值4

【解析】试题分析：（Ⅰ）设，由题意得，化简可得曲线的方程为 ； （Ⅱ）设，切线方程为，与抛物线方程联立互为，由于直线与抛物线相切可得，解得，可切点，由，利用韦达定理，得到，得到为直角三角形，得出三角形面积的表达式，即可求解三角形的最小值．

试题解析：（Ⅰ）设M（x，y），由题意可得： ，

化为x2=4y．

∴曲线C 的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．

联立，化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，

由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．

∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切点（2k，k2），

由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1k2=﹣1．

∴切线QD⊥QE．

∴△QDE为直角三角形， |QD||QE|．

令切点（2k，k2）到Q的距离为d，

则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），

∴|QD|=，

|QE|=，

∴（4+m2）=≥4，

当m=0时，即Q（0，﹣1）时，△QDE的面积S取得最小值4．