Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD₁与A₁D相交于点O．
（1）求证：CD⊥平面AA₁D₁D
（2）判断直线AD₁与平面A₁B₁CD的位置关系，并证明；
（3）求直线AB₁与平面A₁B₁CD所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）由正方体的性质可得CD⊥DD₁，CD⊥AD结合①②根据直线与平面垂直的判定定理可证CD⊥平面AA₁D₁D
（2）由正方体的性质可得AD₁⊥A₁D，①A₁B₁⊥AD₁②，结合①②根据直线与平面垂直的判定定理可证AD₁⊥平面A₁B₁CD
（3）由（2）可知AO为平面A₁B₁CD的垂线，连接B₁O，故可得∠AB₁O即为所求的角，在直角三角形AB₁O中求解即可

解答：证明：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，所有的面均为正方形
∴CD⊥DD₁，CD⊥AD
又∵DD₁∩AD=D，DD₁，AD?平面AA₁D₁D∴
CD⊥平面AA₁D₁D
解：（2）AD₁⊥平面A₁B₁CD．
证明：∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁⊥AD₁，
AD₁⊥A₁D，A₁D∩A₁B₁=A₁，
∴AD₁⊥平面A₁B₁CD．
（3）连接B₁O．∵AD₁⊥平面A₁B₁CD于点O，
∴直线B₁O是直线AB₁在平面A₁B₁CD上的射影．
∴∠AB₁O为直线AB₁与平面A₁B₁CD所成的角．
又∵AB₁=2AO，
∴sin∠AB1O=

AO

AB1

=

1

2

．
∴∠AB₁O=30°．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的运用，“线线垂直”与“线面垂直”的相互转化，还考查了直线与平面所成角，及考生的空间想象能力．