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已知f(x)=3sin(2x-
π6
),若存在α∈(0,π),使f(α+x)=f(α-x)对一切实数x恒成立,则α=
 
分析:依题意,f(x)=3sin(2x-
π
6
),且f(α+x)=f(α-x)⇒y=f(x)关于x=α对称,利用正弦函数的对称性及α∈(0,π)即可求得α的值.
解答:解:∵f(x)=3sin(2x-
π
6
),且f(α+x)=f(α-x),
∴y=f(x)关于直线x=α对称,
由正弦函数的对称性得:2α-
π
6
=kπ+
π
2
(k∈Z),
∴α=
2
+
π
3
(k∈Z),
又α∈(0,π),
∴k=0时,α=
π
3

k=1时,α=
π
2
+
π
3
=
6

故答案为:
π
3
6
点评:本题考查正弦函数的对称性,f(α+x)=f(α-x)⇒y=f(x)关于x=α对称是关键,考查函数恒成立问题,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)=
3
sinωx-2sin2
ωx
2
(ω>0)的最小正周期为3π.
(Ⅰ)当x∈[
π
2
4
]时,求函数f(x)的最小值;
(Ⅱ)在△ABC,若f(C)=1,且2sin2B=cosB+cos(A-C),求sinA的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(文)已知f(x)=3sin(
π
2
x+
π
3
),则下列不等式中正确的是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

下列结论中正确结论的序号是
(2)(3)
(2)(3)

(1)函数y=sinx在第一象限单调递增;
(2)函数f(x)=sin(
2x
3
+
2
)是偶函数;
(3)已知f(x)=3sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|<π),且对任意实数t都有f(t+
π
3
)=f(
π
3
-t),设g(x)=3cos(ωx+φ)-1,则g(
π
3
)=-1
(4)设α,β是锐角三角形两个内角,则sinα<cosβ.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)=3sin(2x+
π
3
).
(1)用“五点法”画函数y=3sin(2x+
π
3
),x∈[-
π
6
6
]的图象.(只需列表即可,不用描点连线)
(2)求函数f(x)=3sin(2x+
π
3
)在x∈[-π,π]的单调递减区间.

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