【题目】某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段后,画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求第四小组的频率,补全频率分布直方图,并求样本数据的众数,中位数,平均数和方差,(同一组中的数据用该区间的中点值作代表);
(2)从被抽取的数学成绩是分以上(包括分)的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率;
(3)假设从全市参加高一年级期末考试的学生中,任意抽取个学生,设这四个学生中数学成绩为分以上(包括分)的人数为(以该校学生的成绩的频率估计概率),求的分布列和数学期望.
【答案】(1),;(2);(3).
【解析】试题分析:(1)通过各组的频率和等于,求出第四组的频率,考查直方图,面积一半的横坐标就是中位数,每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和,即可得到平均数,最高矩形的中点横坐标为众数,利用方差公式可求得方差;(2)分别求出, , 的人数是, , ,然后根据组合知识利用古典概型概率求解即可;(3), 即可写出分布列,利用二项分布的期望公式可得结果.
试题解析:(1)因为各组的频率和等于1,故第四组的频率:
.
直方图如图所示.
中位数是,
样本数据中位数是分.众数是75;=71;=194
(2), , 的人数是, , ,所以从成绩是分以上(包括分)的学生中选两人,他们在同一分数段的概率:
.
(3)因为, , ,
所以其分布列为:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
0.2401 | 0.4116 | 0.2646 | 0.0756 | 0.0081 |
数学期望为.
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【题目】已知函数.
(1)求f(x)的定义域;
(2)当x∈(1,+∞),
①求证:f(x)在区间(1,+∞)上是减函数;
②求使关系式f(2+m)>f(2m-1)成立的实数m的取值范围.
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【题目】设椭圆的左焦点为F,左顶点为A,已知,其中O为坐标原点,e为椭圆的离心率.
求椭圆C的方程;
是否存在斜率为的直线l,使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M,N时,能在直线上找到一点P,在椭圆C上找到一点Q,满足?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】国内某知名大学有男生14000人,女生10000人.该校体育学院想了解本校学生的运动状况,根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人,统计他们平均每天运动的时间(已知该校学生平均每天运动的时间范围是 ),如下表所示.
男生平均每天运动的时间分布情况:
女生平均每天运动的时间分布情况:
(1)假设同组中的每个数据均可用该组区间的中间值代替,请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间(结果精确到0.1).
(2)若规定平均每天运动的时间不少于的学生为“运动达人”,低于的学生为“非运动达人”.
(ⅰ)根据样本估算该校“运动达人”的数量;
(ⅱ)请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表,并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“运动达人”与性别有关.
参考公式: ,其中.
参考数据:
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【题目】已知向量.
(1)求函数f(x)的单调增区间.
(2)若方程上有解,求实数m的取值范围.
(3)设,已知区间[a,b](a,b∈R且a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有100个零点,在所有满足上述条件的[a,b]中求b﹣a的最小值.
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【题目】如图所示的几何体是由以等边三角形为底面的棱柱被平面所截而得,已知平面 为的中点, 面.
(1)求的长;
(2)求证:面面;
(3)求平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值.
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【题目】下图中有一个信号源和五个接收器,接收器与信号源在同一个串联线路中时,就能接收到信号,否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组,将右端的六个接线点也随机地平均分成三组,再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接,则这五个接收器不能同时接收到信号的概率是( )
A. B. C. D.
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【题目】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
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【题目】某地区积极发展电商,通过近些年工作的开展在新农村建设和扶贫过程中起到了非常重要的作用,促进了农民生活富裕,为了更好地了解本地区某一特色产品的宣传费 (千元)对销量 (千件)的影响,统计了近六年的数据如下:
(1)若近6年的宣传费与销量呈线性分布,由前5年数据求线性回归直线方程,并写出的预测值;
(2)若利润与宣传费的比值不低于20的年份称为“吉祥年”,在这6个年份中任意选2个年份,求这2个年份均为“吉祥年”的概率
附:回归方程的斜率与截距的最小二乘法估计分别为,
,其中, 为, 的平均数.
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