Question

定义：区间[x₁，x₂]（x₁＜x₂）长度为x₂-x₁．已知函数y=|log_0.5x|定义域为[a，b]值域为[0，2]，则区间[a，b]长度的取值范围为

[

3

4

，

15

4

]

．

Answer 1

分析：根据区间长度的定义，由值域分别解出对应定义域的取值，确定a，b的值，进而确定区间长度的范围．

解答：解：设f（x）=|log_0.5x|，
则由f（x）=0得x=1，
由f（x）=2，得|log_0.5x|=2，
即log_0.5x=2或log_0.5x=-2，
解得x=

1

4

或x=4．
若a=

1

4

，则1≤b≤4，此时

3

4

≤b-a≤

15

4

．
若b=4，则

1

4

≤a≤1，此时3≤b-a≤

15

4

．
综上

3

4

≤b-a≤

15

4

．
即区间[a，b]长度的取值范围为：[

3

4

，

15

4

]．
故答案为：[

3

4

，

15

4

]．

点评：本题主要考查对数函数的性质和对数的基本运算，利用对数函数的图象和性质是解决本题的关键．