Question

9．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且2acosB+b=2c．
（1）求A；
（2）若a=3，sinB+sinC=$\sqrt{3}$sinA，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据余弦定理进行化简求解即可．
（2）根据正弦定理先进行化简，然后利用平方关系求出bc的值，利用三角形的面积公式进行求解即可．

解答 解：（1）由余弦定理得2a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$+b=2c，
即a²+c²-b²+bc=2c²，
即b²+c²-a²=bc，
即cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
则在三角形内A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵sinB+sinC=$\sqrt{3}$sinA，
∴b+c=$\sqrt{3}$a，
平方得b²+c²+2bc=3a²，
∵b²+c²-a²=bc，
∴b²+c²=a²+bc，
即a²+bc+2bc=3a²，
∴3bc=2a²=2×3²=18，即bc=6，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×6×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．