Question

6．三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=$\sqrt{13}$，SB=$\sqrt{29}$，
（1）证明：SC⊥BC；
（2）求三棱锥的体积V_S-ABC．

Answer 1

分析 （1）利用SA⊥平面ABC，根据三垂线定理，可得SC⊥AC．
（2）求三棱锥S-ABC的体积，由题设条件得，棱锥的高是SA，底面是直角三角形，体积易求．

解答 （1）证明：∵∠SAB=∠SAC=90°
∴SA⊥AB，SA⊥AC，
又AB∩AC=A，
∴SA⊥平面ABC…（4分）
∴SA⊥BC…（5分）
又∠ACB=90°，∴AC⊥BC
∴BC⊥平面SAC…（7分）
∴SC⊥BC              …（8分）
（2）解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=$\sqrt{13}$，∴AB=$\sqrt{17}$…（10分）
又在△SAB中，SA⊥AB，AB=$\sqrt{17}$，SB=$\sqrt{29}$，∴SA=2$\sqrt{3}$…（12分）
又SA⊥平面ABC，∴V_S-ABC=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×\sqrt{13}）×2\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{39}}{3}$…（…（14分）

点评 本题以三棱锥为载体，考查线线垂直，考查几何体的体积，关键是正确运用线面垂直的判定．